Convolution de Dirichlet
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En mathématiques, la convolution de Dirichlet, encore appelée produit de convolution de Dirichlet ou produit de Dirichlet est une loi de composition interne définie sur l'ensemble des fonctions arithmétiques, c'est-à-dire des fonctions définies sur les entiers strictement positifs et à valeurs dans les nombres complexescite-ref-1[Note 1]. Cette loi de convolution est utilisée en arithmétique, aussi bien algébrique qu'analytique. On la trouve aussi pour résoudre des questions de dénombrement.
Dirichlet développe ce produit en 1837 pour démontrer le théorème de la progression arithmétiquecite-ref-2[1].
Contents
• Exemples
• Annexes
• Notes
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Définition, exemples et premières propriétés
Notations
Dans toute la suite de l'article, on notera
• F l'ensemble des fonctions arithmétiques et, parmi celles-ci,
• 1 la fonction constante 1 : 1(n) = 1,
• Id l'application identité : Id(n) = n.
Définition
Soient f , g : N ∗ ∗ → → C {\displaystyle f,g:\mathbb {N} ^{*}\to \mathbb {C} } deux fonctions définies sur les entiers strictement positifs à valeurs complexes. La convolution de Dirichlet de deux fonctions arithmétiques ƒ et g est la fonction ƒ ✻ g définie par :
∀
∀
n
∈
∈
N
∗
∗
(
f
∗
∗
g
)
(
n
)
=
∑
∑
a
,
b
∈
∈
N
∗
∗
,
a
b
=
n
f
(
a
)
g
(
b
)
=
∑
∑
d
|
n
f
(
d
)
g
(
n
d
)
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad (f*g)(n)=\sum _{a,b\in \mathbb {N} ^{*},ab=n}f(a)g(b)=\sum _{d|n}f(d)g\left({\frac {n}{d}}\right)}
où « d|n » signifie que la somme porte sur tous les entiers positifs d diviseurs de n. On a donné deux expressions égales de ( f ∗ ∗ g ) ( n ) {\displaystyle (f*g)(n)} , chacune sous la forme d'une somme. Dans la première, on considère tous les couples (a, b) d'entiers dont le produit fait n. Dans la deuxième, on fait une somme sur tous les diviseurs de n.
Exemples
• Toute fonction arithmétique g vérifie l'égalité : δ δ 1 ∗ ∗ g = g ou encore ∀ ∀ n ∈ ∈ N ∗ ∗ ( δ δ 1 ∗ ∗ g ) ( n ) = g ( n ) . {\displaystyle \delta _{1}*g=g\quad {\text{ou encore}}\quad \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad (\delta _{1}*g)(n)=g(n).}
• L'indicatrice d'Euler φ vérifie l'égalitécite-ref-3[Note 2] : I d = φ φ ∗ ∗ 1 ou encore ∀ ∀ n ∈ ∈ N ∗ ∗ n = ∑ ∑ d | n φ φ ( d ) {\displaystyle {\rm {Id}}=\varphi *{\mathbf {1} }\quad {\text{ou encore}}\quad \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad n=\sum _{d|n}\varphi (d)} .
Premières propriétés
L'ensemble F des fonctions arithmétiques, muni de l'addition et de la convolution de Dirichlet, forme un anneau intègrecite-ref-4[2], c'est-à-dire que — outre le fait que F muni de l'addition est un groupe abélien — la loi interne ✻ est associative, commutative et distributive par rapport à l'addition, il existe un élément neutre : δ1, et si f , g ≠ ≠ 0 {\displaystyle f,g\neq 0} alors f ∗ ∗ g ≠ ≠ 0 {\displaystyle f*g\neq 0} .
L'opérateur D : F → F défini par ( D f ) ( n ) = f ( n ) log n {\displaystyle (Df)(n)=f(n)\log n} (où log est le logarithme dans n'importe quelle base) est une dérivation sur cet anneau.
Fonction multiplicative
Groupe des fonctions multiplicatives
L'anneau des fonctions arithmétiques n'est pas un corps.
• Son groupe des unités — le groupe (abélien) de ses éléments inversibles — est l'ensemble de toutes les fonctions qui donnent à 1 une image non nullecite-ref-badiou2-5-0[3]cite-ref-wikiversit-6-0[4]
• L'ensemble des fonctions multiplicatives en est un sous-groupecite-ref-badiou2-5-1[3]cite-ref-wikiversit-6-1[4].
En particulier, la convolée de deux fonctions multiplicatives est multiplicative.
Fonction de Möbius
La fonction constante 1 fait partie du groupe ci-dessus. On désigne par μ son inverse pour ✻cite-ref-badiou2-5-2[3]. Autrement dit :
1
✻ μ = δ
.
On vérifie qu'il s'agit bien de la fonction de Möbius: si l'entier n > 0 est un produit de nombres premiers distincts alors μ(n) = (–1)k où k est le nombre de ces facteurs premiers, et sinon, μ(n) = 0.
Cet inverse μ de 1 joue un rôle particulier, vis-à-vis de la convolution. Soit f une fonction arithmétique et g la fonction définie par l'égalité g = f ✻ 1. Par convolution par μ, on obtient f = g ✻ μ. Cette expression de f à l'aide de g porte le nom de formule d'inversion de Möbiuscite-ref-7[5].
Un exemple d'usage de la formule est son application sur l'indicatrice d'Euler. D'après le deuxième exemple ci-dessus, cette fonction φ vérifie l'égalité Id = φ ✻ 1. La formule d'inversion montre que :
φ
φ
=
I
d
∗
∗
μ
μ
ou encore
∀
∀
n
∈
∈
N
∗
∗
φ
φ
(
n
)
=
∑
∑
d
|
n
μ
μ
(
n
/
d
)
d
.
{\displaystyle \varphi ={\rm {Id}}*\mu \quad {\text{ou encore}}\quad \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad \varphi (n)=\sum _{d|n}\mu (n/d)d.}
Fonction totalement multiplicative
Une fonction ƒ est dite complètementcite-ref-8[6] (ou « totalement ») multiplicative si :
f
(
1
)
=
1
e
t
∀
∀
n
,
m
∈
∈
N
∗
∗
f
(
n
m
)
=
f
(
n
)
f
(
m
)
.
{\displaystyle f(1)=1\quad {\rm {et}}\quad \forall n,m\in \mathbb {N} ^{*}\quad f(nm)=f(n)f(m).}
Les fonctions complètement multiplicatives jouent un rôle en arithmétique. En théorie algébrique des nombres, les caractères de Dirichlet sont des fonctions totalement multiplicatives. Leur usage est à la base de la démonstration du théorème de la progression arithmétique, à l'origine du développement du concept de la convolution de Dirichletcite-ref-9[7]. En théorie analytique des nombres, les fonctions ƒs, qui à n associent ns, où s est un nombre complexe, sont utilisées pour étudier la fonction zêta de Riemanncite-ref-10[8] ainsi que la fréquence de certains nombres particuliers, comme les nombres premiers.
Si la convolution de deux fonctions complètement multiplicatives est multiplicative, en revanche elle n'est pas nécessairement complètement multiplicative. Par exemple la convolée 1 ✻ 1 est la fonction d qui à n associe son nombre de diviseurs. Cette fonction n'est pas complètement multiplicative : l'image de 2 est égale à 2 et celle de 4 à 3.
Soit ƒ une fonction complètement multiplicativecite-ref-exo-11-0[9] :
• son inverse pour la convolution est le produit ƒμ (au sens usuel)cite-ref-12[10] ;
• sa convolée par elle-même est le produit ƒd ;
• plus généralement, pour toutes fonctions arithmétiques g et h : (ƒg) ✻ (ƒh) = ƒ(g ✻ h).
Convolution de Dirichlet et séries génératrices de Dirichlet
Si ƒ est une fonction arithmétique, on définit sa série de Dirichlet génératrice F par : F ( s ) = ∑ ∑ n = 1 ∞ ∞ f ( n ) n s {\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}
pour les nombres complexes s tels que la série converge (s'il en existe).
La multiplication des séries de Dirichlet est compatible avec la convolution de Dirichlet dans le sens suivant : si h = ƒ ∗ g, alors
H
(
s
)
=
∑
∑
n
=
1
∞
∞
h
(
n
)
n
s
=
F
(
s
)
G
(
s
)
{\displaystyle H(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {h(n)}{n^{s}}}=F(s)G(s)}
pour tous les nombres complexes s tels que les deux séries F(s) et G(s) convergent et dont l'une des deux converge absolument.
Ceci est lié au théorème de convolution sur les transformées de Fourier.
La simple convergence de F(s) et de G(s) n'implique pas celle de H(s)cite-ref-14[12].
Annexes
Notes
cite-note-1Note 1. ↑ De manière plus générale, les fonctions arithmétiques sont à valeurs dans un corps commutatif quelconque.
cite-note-3Note 2. ↑ Cette égalité est démontrée dans le § « Arithmétique modulaire » de l'article sur la formule d'inversion de Möbius.
Références
cite-note-21. ↑ (de) G. Lejeune Dirichlet, « Beweis eines Satzes über die arithmetische Progression », Bericht über die Verhandlungen der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften, 1837, p. 108-110 — Œuvres complètes, tome 1, 307-312.
cite-note-42. ↑ Pour une démonstration, voir par exemple cet exercice corrigé de la leçon « Introduction à la théorie des nombres » sur Wikiversité.
cite-note-badiou2-53. badiou1960-61fran-oise-badiou1960-61Françoise Badiou, « Formule d'inversion de Möbius », Séminaire Delange-Pisot-Poitou Théorie des nombres, vol. 2, 1960-61, p. 1-7, p. 2.
cite-note-wikiversit-64. Une démonstration figure dans la section « Fonctions arithmétiques » de la leçon « Introduction à la théorie des nombres » sur Wikiversité.
cite-note-97. ↑ hardywrightg-h-hardye-m-wright(en) G. H. Hardy et E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers (1re éd. 1938) [détail des éditions], 5e éd., 1979, p. 13-14.
cite-note-108. ↑ bostcolmezbiane2002jean-beno-t-bostpierre-colmezphilippe-biane2002Jean-Benoît Bost, Pierre Colmez et Philippe Biane, La Fonction Zêta, Paris, Éditions de l'École polytechnique, 2002, 193 p. (ISBN 978-2-7302-1011-9, lire en ligne).
cite-note-exo-119. Exercice corrigé de la leçon « Introduction à la théorie des nombres » sur Wikiversité.
cite-note-1210. ↑ Badiou 1960-61, p. 3.
cite-note-1311. ↑ apostol1976tom-m-apostol1976(en) Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer, coll. « UTM (en) » (no 7), 1976, 340 p. (ISBN 978-0-387-90163-3, lire en ligne), p. 36.
cite-note-1412. ↑ Voir par exemple G. Tenenbaum, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres. Cours spécialisés 1, SMF, Paris, 1995, II.1.1 et Notes de II.1.
Bibliographie
davenport1980harold-davenport1980(en) Harold Davenport, Multiplicative Number Theory, Springer, coll. « GTM » (no 74), 1980, 2e éd. (1re éd. 1967) (lire en ligne)
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